Закон сохранения энергии для абсолютно неупругого удара

Исследование упругого столкновения шаров

Закон сохранения энергии для абсолютно неупругого удара

МЕТОДИЧЕСКОЕРУКОВОДСТВО К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №1.5

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:изучение закономерностей механическихупругих столкновений шаров; проверказаконов сохранения импульса и энергиив механике при столкновениях.

ПРИБОРЫ ИПРИНАДЛЕЖНОСТИ: Стол с наклоннойплоскостью, набор шаров, уровень,измерительная линейка.

ЭЛЕМЕНТЫТЕОРИИ

Под столкновениемдвух или большего числа тел в широкомсмысле подразумеваются такие ихвзаимодействия, при которых между теламивозникают кратковременные силы стользначительные, что роль всех другихпостоянно действующих сил можно считатьнесущественной.

При этом вовсе непредполагается, что тела приходят внепосредственное соприкосновение, такназываемое «столкновение».

Примерысоударений: удар бильярдных шаров,попадание пули в мишень, столкновениемашин на дорогах, столкновение молекули атомов, пролет космического кораблявблизи Луны и т.д.

Изучение столкновений(рассеяний) микрочастиц в атомной иядерной физике позволяет определятьхарактер полей, создаваемых ими, и другиеважные свойства. Циклотроны, синхрофазотроныи другие ускорители микрочастиц являютсяв сущности своей приборами для изучениястолкновений.

Рассматриваястолкновения, мы допускаем, что

а) исходная системаотсчета инерциальная;

б) система из двухи более шаров замкнута;

в) потенциальнойэнергией взаимодействия шаров и ихвращением пренебрегаем.

Различают упругиеи неупругиестолкновения. Предельными идеализированнымислучаями столкновений являютсястолкновенияабсолютноупругиеи абсолютнонеупругие.

Если послестолкновения внутреннее состояние телизменяется, например, тела не восстанавливаютсвою первоначальную форму, или столкновениесопровождается превращением кинетическойэнергии тел в другие виды энергии, тотакое столкновение называется неупругим.

Столкновение телназывается абсолютнонеупругим,если по его завершению тела движутсякак единое целое. В этом случае имеетместо потеря механической энергии поддействием диссипативныхсил.

Примерами абсолютнонеупругих столкновений являютсяпопадание пули в подвижную мишень,например, в ящик с песком, подвешенныйна веревке. Пуля, застряв в песке, остаетсяв ящике и движется дальше вместе с ним.

Шары из пластилина, воска или глины пристолкновении обычно слипаются и затемдвижутся как единое целое.

Аналогичноеповедение наблюдается при столкновениидвух разноименных ионов, сопровождающеесяобразованием молекулы, захвате свободногоэлектрона положительным ионом и т.д.

Физические явленияпри столкновении тел довольно сложны.Сталкивающиеся тела деформируются,возникают упругие силы трения, в телахвозбуждаются колебания и волны.

Еслиудар неупругий, то в конечном итоге всеэти процессы прекращаются и в дальнейшемоба тела, соединившись вместе, движутсякак единое твердое тело.

Его скорость,не вдаваясь в механизм сопутствующихявлений, можно найти, используя толькозаконсохранения импульса.

Пусть абсолютнонеупругое столкновение происходитмежду двумя телами массой и ,движущимися со скоростями и соответственно. По закону сохраненияимпульса

,

откудаскорость тел после столкновения определяется выражением:

. (1.1)

Каквидно из формулы (1.1), движение тел послестолкновения происходит по диагоналипараллелограмма, построенного навекторах и :

Рис.1

Если до столкновениялинии скоростей и лежали вдоль прямой, соединяющей центрымасс тел, то столкновение называетсяцентральным,в противном случае – нецентральным.

В случае центрального соударения припереходе от векторной формы записи кскалярной векторы импульсов разумнопроектировать на направление, совпадающеес направлением вектора скорости одногоиз тел, например, первого. Тогда:

(1.2)

В этом выражениии далее по тексту в числителе верхнийзнак относится к случаю, когда тела досоударения двигались в одном направлении,а нижний – когда они двигались навстречудруг другу. В обоих случаях «»является скоростью движения центраинерции системы.

Найдем, какая частькинетической энергии прицентральном абсолютно неупругомстолкновении превращается в другиевиды энергии.

Суммарнаякинетическая энергия тел до столкновенияравна:

послестолкновения:

(1.3)

где‑ приведенная масса.

Таким образом, пристолкновении двух абсолютно неупругихтел происходит потеря кинетическойэнергии макроскопического движения,равная половине приведенной массы,умноженной на квадрат относительнойскорости.

Рассмотрим одинчастный случай, когда и (с точки зрения классической электроннойтеории металлов это имеет место пристолкновении электронов проводимостив металле с узлами кристаллическойрешетки).

Разделимчислитель и знаменатель в выражении(1.3) на .Получаем

.

В данном выражении,исходя из условия, что и ,слагаемыми, содержащими ,и дробью ,в силу их малости, можно пренебречь итогда

. (1.4)

Это показывает,что при абсолютно неупругом столкновениибыстрых частиц малой массы с медленной(или покоящейся) частицей большой массы,практически вся кинетическая энергиябыстрой частицы преобразуется в другиевиды энергии.

Такимобразом, во время абсолютно неупругого столкновения в системе действуютдиссипативные силы, уменьшающиекинетическую энергию макроскопическогодвижения.

Поэтому применять законсохранения энергии в его механическойформе к таким процессам, происходящимво время удара, нельзя.

Но после того,как удар закончился, и сталкивающиесятела соединились в одно тело, закономсохранения энергии уже можно пользоваться(если, конечно, в дальнейшем не действуютдиссипативные силы).

Источник: https://studfile.net/preview/5240253/

Столкновение тел. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. урок. Физика 10 Класс

Закон сохранения энергии для абсолютно неупругого удара

Тема: Законы сохранения в механике

Урок: Столкновение тел. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары

Для изучения строения вещества, так или иначе, используются различные столкновения.

Например, для того, чтобы рассмотреть какой-то предмет, его облучают светом, или потоком электронов, и по рассеянию этого света, или потока электронов получают фотографию, или рентгеновский снимок, или изображение данного предмета в каком-либо физическом приборе. Таким образом, столкновение частиц – это то, что окружает нас и в быту, и в науке, и в технике, и в природе.

Например, при одном столкновении ядер свинца в детекторе ALICE Большого Адронного Коллайдера рождаются десятки тысяч частиц, по движению и распределению которых можно узнать о самых глубинных свойствах вещества.

Рассмотрение процессов столкновения с помощью законов сохранения, о которых мы говорим, позволяет получать результаты, независимо от того, что происходит в момент столкновения.

Мы не знаем, что происходит в момент столкновения двух ядер свинца, но мы знаем, какова будет энергия и импульс частиц, которые разлетаются после этих столкновений.

Сегодня мы рассмотрим взаимодействие тел в процессе столкновения, иными словами движение невзаимодействующих тел, которые меняют свое состояние только при соприкосновении, которое мы называем столкновением, или ударом.

При столкновении тел, в общем случае, кинетическая энергия сталкивающихся тел не обязана быть равной кинетической энергии разлетающихся тел. Действительно, при столкновении тела взаимодействуют друг с другом, воздействуя друг на друга и совершая работу.

Эта работа и может привести к изменению кинетической энергии каждого из тел. Кроме того, работа, которую совершает первое тело над вторым, может оказаться неравной работе, которую второе тело совершает над первым.

Это может привести к тому, что механическая энергия может перейти в тепло, электромагнитное излучение, или даже породить новые частицы.

Столкновения, при которых не сохраняется кинетическая энергия сталкивающихся тел, называют неупругими.

Среди всех возможных неупругих столкновений, есть один исключительный случай, когда сталкивающиеся тела в результате столкновения слипаются и дальше движутся как одно целое. Такой неупругий удар называют абсолютно неупругим (рис. 1).

а)б)

Рис. 1. Абсолютное неупругое столкновение

Рассмотрим пример абсолютно неупругого удара. Пусть пуля массой летела в горизонтальном направлении со скоростью  и столкнулась с неподвижным ящиком с песком массой , подвешенным на нити. Пуля застряла в песке, и дальше ящик с пулей пришел в движение.

В процессе удара пули и ящика внешние силы, действующие на эту систему, – это сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити, направленная вертикально вверх, если время удара пули было настолько мало, что нить не успела отклониться.

Таким образом, можно считать, что импульс сил, действующих на тело во время удара, был равен нулю, что означает, что справедлив закон сохранения импульса:

.

Условие, что пуля застряла в ящике, и есть признак абсолютно неупругого удара. Проверим, что произошло с кинетической энергией в результате этого удара. Начальная кинетическая энергия пули:

,

конечная кинетическая энергия пули и ящика:

простая алгебра показывает нам, что в процессе удара кинетическая энергия изменилась:

.

Итак, начальная кинетическая энергия пули меньше конечной на некоторую положительную величину. Как же это произошло? В процессе удара между песком и пулей действовали силы сопротивления. Разность кинетических энергий пули до и после столкновения как раз и равны работе сил сопротивления. Другими словами, кинетическая энергия пули пошла на нагрев пули и песка.

Если в результате столкновения двух тел сохраняется кинетическая энергия, такой удар называется абсолютно упругим.

Примером абсолютно упругих ударов могут быть столкновения бильярдных шаров. Мы рассмотрим простейший случай такого столкновения – центральное столкновение.

Центральным называется столкновение, при котором скорость одного шара проходит через центр масс другого шара. (Рис. 2.)

Рис. 2. Центральный удар шаров

Пускай один шар покоится, а второй налетает на него с какой-то скоростью , которая, согласно нашему определению, проходит через центр второго шара. Если столкновение центральное и упругое, то при столкновении возникают силы упругости, действующие вдоль линии столкновения.

Это приводит к изменению горизонтальной составляющей импульса первого шара, и к возникновению горизонтальной составляющей импульса второго шара. После удара второй шар получит импульс, направленный направо, а первый шар может двигаться как направо, так и налево – это будет зависеть от соотношения между массами шаров.

В общем случае, рассмотрим ситуацию, когда массы шаров различны.

Закон сохранения импульса выполняется при любом столкновении шаров:

.

В случае абсолютно упругого удара, также выполняется закон сохранения энергии:

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными величинами. Решив ее, мы получим ответ.

Скорость первого шара после удара равна

,

заметим, что эта скорость может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от того, масса какого из шаров больше. Кроме того, можно выделить случай, когда шары одинаковые. В этом случае после удара первый шар остановится. Скорость второго шара, как мы ранее отметили, получилась положительной при любом соотношении масс шаров:

.

Наконец, рассмотрим случай нецентрального удара в упрощенном виде – когда массы шаров равны. Тогда, из закона сохранения импульса мы можем записать:

А из того, что кинетическая энергия сохраняется:

Нецентральным будет удар, при котором скорость налетающего шара не будет проходить через центр неподвижного шара (рис. 3). Из закона сохранения импульса, видно, что скорости шаров составят параллелограмм. А из того, что сохраняется кинетическая энергия, видно, что это будет не параллелограмм, а квадрат.

Рис. 3. Нецентральный удар при одинаковых массах

Таким образом, при абсолютно упругом нецентральном ударе, когда массы шаров равны, они всегда разлетаются под прямым углом друг к другу.

Список литературы

  1. Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
  2. А.П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. – М.: Дрофа, 2006.
  3. О.Я. Савченко. Задачи по физике – М.: Наука, 1988.
  4. А. В. Пёрышкин, В. В. Крауклис. Курс физики т. 1. – М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 3 ГИА и вопросам А4 ЕГЭ.

1. Задачи 327, 328, 329, 330 сб. задач А.П. Рымкевич изд. 10 (Источник)

2. Возьмите два мячика для настольного тенниса. Столкните их, что вы наблюдаете? Проделайте в мячиках отверстия. Столкните их снова. Что изменилось?

3. Рассмотрите следующие вопросы и ответы на них:

Список вопросов – ответов:

Вопрос: Приведите больше примеров абсолютно неупругих ударов. Существуют ли такие удары в природе?

Ответ: Да, действительно такие удары существуют в природе. Например, если мяч попадает в сетку футбольных ворот, или кусок пластилина выскальзывает из ваших рук и прилипает к полу, или стрела, которая застряла в подвешенной на нитках мишени, или попадание снаряда в баллистический маятник.

Вопрос: Приведите больше примеров абсолютно упругого удара. Существуют ли они в природе?

Ответ: В природе не существует абсолютно упругих ударов, поскольку при любом ударе часть кинетической энергии тел тратится на совершение некими сторонними силами работы. Однако иногда мы можем считать некие удары абсолютно упругими.

Мы вправе делать это, когда изменение кинетической энергии тела при ударе незначительное по сравнению с этой энергией. Примерами таких ударов может служить баскетбольный мяч, который отскакивает от асфальта, или столкновения металлических шариков.

Упругими также принято считать соударения молекул идеального газа.

Вопрос: Что делать, когда удар частично упругий?

Ответ: Нужно оценить, какое количество энергии ушло на работу диссипативных сил, то есть таких сил, как сила трения или сила сопротивления. Далее нужно воспользоваться законами сохранения импульса и узнать кинетическую энергию тел после столкновения.

Вопрос: Как стоит решать задачу о нецентральном ударе шаров, имеющих разные массы?

Ответ: Стоит записать закон сохранения импульса в векторной форме, и то, что кинетическая энергия сохраняется. Далее, у вас получится система из двух уравнений и двух неизвестных, решив которую, вы сможете найти скорости шаров после столкновения. Однако, следует отметить, что это достаточно сложный и трудоемкий процесс, выходящий за рамки школьной программы. 

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/bzakony-sohraneniya-v-mehanikeb/stolknovenie-tel-absolyutno-uprugiy-i-absolyutno-neuprugiy-udary

Упругий и неупругий удар в физике

Закон сохранения энергии для абсолютно неупругого удара

Столкновения тел, движущихся в пространстве, наблюдаются на самых различных масштабах материального мира: от слияния галактик до соударения микрочастиц в коллайдерах.

С практической точки зрения теоретическое описание соударений может быть полезно при исследовании технологических процессов (например, кузнечного дела), в горнодобывающей отрасли (разрушение породы), при анализе транспортных происшествий, спортивных игр (футбол, бильярд, теннис) и т.п.

Определение 1

Столкновением называется кратковременное взаимное касание двух движущихся тел.

Теоретические основы описания соударяющихся тел

Силы, действующие на соударяющиеся тела, обусловлены деформацией вещества, из которого они состоят. Вблизи от точки соударения возникают волнообразно распространяющиеся внутри них колебания.

Однако для анализа процесса столкновения в первом приближении можно абстрагироваться от этих деформаций и сосредоточиться на исследовании импульсов как интегральных величин, характеризующих силы соударения.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В простейшем случае при прямом столкновении двух шаров с массами $m_1$ и $m_2$ и скоростями $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ можно записать закон сохранения импульса как

$m_1 \cdot \vec{v\prime_1} + m_2 \cdot \vec{v\prime_2} = m_1 \cdot \vec{v_{1}} + m_2 \cdot \vec{v_{2}}$, где:

  • $\vec{v\prime_1}$ и $\vec{v\prime_2}$ – скорости тел до столкновения,
  • $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ – скорости после столкновения.

Теперь можно учесть энергию, которая тратится при ударе на деформацию вещества. Она может принимать значение от нуля, в случае, когда шары после соударения разъединяются без потери кинетической энергии, до суммы энергий обоих шаров, когда шары после удара остаются неподвижными.

В первом случае принято говорить, что произошел абсолютно упругий удар, во втором – абсолютно неупругий удар. Все виды ударов в физике сводятся к промежуточным ситуациям между этими двумя крайними случаями.

Таким образом, формула с учетом затрат энергии на деформацию приобретет вид

$\vec{v_2}$ – $\vec{v_1} = e \cdot (\vec{v\prime_1}$ – $\vec{v\prime_2})$,

где $e$ – коэффициент восстановления, принимающий значение от $0$ до $1$.

Эта формула называется гипотезой Ньютона. Таким образом, формула абсолютно упругого удара выглядит как

$\vec{v_2}$ – $\vec{v_1} = 1 \cdot (\vec{v\prime_1}$ – $\vec{v\prime_2}) = \vec{v\prime_1}$ – $\vec{v\prime_2}$

Формула абсолютно неупругого удара:

$\vec{v_2}$ – $\vec{v_1} = 0 \cdot (\vec{v\prime_1}$ – $\vec{v\prime_2}) = 0$

Замечание 1

Опыты, в результате которых был выведен коэффициент восстановления, проводил Исаак Ньютон, поэтому вышеприведенная закономерность известна как гипотеза Ньютона, поскольку описывает столкновение на основе эмпирических данных. Более точно по сравнению с гипотезой Ньютона описывает процессы, происходящие в соударяющихся телах, сложная волновая теория Б. Сен–Венана.

Коэффициент восстановления, характеризующий упругий и неупругий удары, зависит в первую очередь от материала, из которого изготовлены шары. Если вещество вязкое (битум, пластилин), то коэффициент будет ближе к нулю, если оно представляет собой, например, закаленную сталь – ближе к единице.

Какой удар называется абсолютно упругим

Кинетическая энергия движущихся, а затем сталкивающихся тел во время удара переходит в потенциальную. Это связано с тем, что деформация является формой аккумулирования энергии, переноса ее внутрь тел (например, в увеличение напряжения связей между молекулами кристаллической решетки). Для удобства математического описания соударений можно считать, что:

  • на столкнувшиеся тела не действуют никакие посторонние силы (замкнутая система);
  • тела представляют собой шары из одинакового материала, обладающего свойством не терять энергию, затраченную на деформацию;
  • тела катятся по горизонтальной плоской поверхности.

Определение 2

Удар, происходящий в отсутствие посторонних сил и при условии, что вся запасенная соударяющимися телами потенциальная энергия будет по окончании соприкосновения вновь преобразована в кинетическую называется абсолютно упругим.

Для понимания процессов, происходящих во время абсолютно упругого удара, проще всего проанализировать центральное соударение шаров, когда векторы скоростей направлены по прямой, проходящей через центры шаров.

После столкновения искаженные в месте удара и стремящиеся прийти в первоначальное состояние участки вещества сообщают обоим телам ускорения в противоположных направлениях.

Деформации, разводя шары, уменьшаются до полного исчезновения.

Кинетическая энергия, которой располагала система до соприкосновения, вернется в систему и шары начнут двигаться с измененными направлениями и скоростями, но суммарный импульс останется прежним.

Пример 1

Рассмотрим ситуацию, когда один шар покоится, а второй движется на него с некоторой скоростью слева направо, причем вектор его скорости проходит через центр покоящегося шара.

При центральном и упругом столкновении возникают силы деформации, направленные вдоль линии касания. Горизонтальная составляющая импульса ударяющего шара меняется, а ранее покоившийся получает ненулевой импульс.

После удара второй шар направится направо, а ударяющий может покатиться как направо, так и налево (это зависит от масс шаров и скорости ударяющего).

Выразим закон сохранения импульса для такой замкнутой системы:

$m_1 \cdot v_1 = m_1 \cdot v\prime_1 + m_2 \cdot v_2$

При абсолютно упругм ударе, соблюдается и закон сохранения энергии:

$\frac{m_1 \cdot v_12}{2} = \frac{m_1 \cdot {v_1\prime}2}{2} + \frac{m_2 \cdot v_22}{2}$

Решив систему из двух уравнений, получим ответ:

$v\prime_1 = \frac{m_1 – m_2}{m_1 + m_2} \cdot v_1$ .

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/uprugiy_i_neuprugiy_udar_v_fizike/

Законы сохранения энергии и импульса. Упругие и неупругие столкновения

Закон сохранения энергии для абсолютно неупругого удара

Начну с пары определений, без знания которых дальнейшее рассмотрение вопроса будет бессмысленным.

Сопротивление, которое оказывает тело при попытке привести его в движение или изменить его скорость, называется инертностью.

 Мера инертности – масса.

Таким образом можно сделать следующие выводы:

  1. Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются вывести его из состояния покоя.
  2. Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются изменить его скорость в случае, если тело движется равномерно.

Резюмируя можно сказать, что инертность тела противодействует попыткам придать телу ускорение. А масса служит показателем уровня инертности. Чем больше масса, тем большую силу нужно применить для воздействия на тело, чтобы придать ему ускорение.

Замкнутая система (изолированная) – система тел, на которую не оказывают влияние другие тела не входящие в эту систему. Тела в такой системе взаимодействуют только между собой.

Если хотя бы одно из двух условий выше не выполняется, то систему замкнутой назвать нельзя. Пусть есть система, состоящая из двух материальных точек, обладающими скоростями и  соответственно.

Представим, что между точками произошло взаимодействие, в результате которого скорости точек изменились. Обозначим через и приращения этих скоростей за время взаимодействия между точками .

Будем считать, что приращения имеют противоположные направления и связаны соотношением  . Мы знаем, что коэффициенты и  не зависят от характера взаимодействия материальных точек — это подтверждено множеством экспериментов.

 Коэффициенты и  являются характеристиками самих точек. Эти коэффициенты называются массами (инертными массами). Приведенное соотношения для приращения скоростей и масс можно описать следующим образом.

Отношение масс двух материальных точек равно отношению приращений скоростей этих материальных точек в результате взаимодействия между ними.

Представленное выше соотношение можно представить в другом виде. Обозначим скорости тел до взаимодействия как  и  соответственно, а после взаимодействия — и . В этом случае приращения скоростей могут быть представлены в таком виде —  и .  Следовательно, соотношение можно записать так — .

Импульс (количество энергии материальной точки) – вектор равный произведению массы материальной точки на вектор ее скорости —

Импульс системы (количество движения системы материальных точек) – векторная сумма импульсов материальных точек, из которых эта система состоит — .

Можно сделать вывод, что в случае замкнутой системы импульс до и после взаимодействия материальных точек должен остаться тем же — , где и . Можно сформулировать закон закон сохранения импульса.

Импульс изолированной системы остается постоянным во времени, независимо от взаимодействия между ними.

Закон сохранения энергии

Необходимое определение:

Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от траектории, а обусловлена только начальными и конечными координатами точки.

Формулировка закона сохранения энергии:

В системе, в которой действуют только консервативные силы, полная энергия системы остается неизменной. Возможны лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Потенциальная энергия материальной точки является функцией только координат этой точки. Т.е. потенциальная энергия зависит от положения точки в системе.

Таким образом силы , действующие на точку, можно определить так: можно определить так: . – потенциальная энергия материальной точки. Помножим обе части на и получим .

Преобразуем и получим выражение доказывающее закон сохранения энергии.

Упругие и неупругие столкновения

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого они соединяются и далее двигаются как одно целое.

Два шара , с и испытывают абсолютно неупругий дар друг с другом. По закону сохранения импульса . Отсюда можно выразить скорость двух шаров, двигающихся после соударения как единое целое — . Кинетические энергии до и после удара:  и . Найдем разность

,

где – приведенная масса шаров. Отсюда видно, что при абсолютно неупругом столкновении двух шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения. Эта потеря равна половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.

Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого механическая энергия системы остается прежней.

Два шара , с и до соударения и и после. По закону сохранения импульса и энергии: , . Решением системы может стать и . Это значит, что шары не встретились. Потребуем и и перепишем уравнения в виде: , . Второе уравнение делим почленно на первое и получаем . Решаем систему из двух линейных уравнений и имеем: , .

Похожее

Источник: http://optoelectrosys.ru/teor/zakony-soxraneniya-energii-i-impulsa-uprugie-i-neuprugie-stolknoveniya-2.html

Лабораторная работа № 3 изучение законов соударения тел

Закон сохранения энергии для абсолютно неупругого удара

Цельработы:исследованиеудара, изучение законов сохраненияимпульса и механической энергии приударе, определение силы взаимодействиямежду шарами

Основныетеоретические сведения

Удар– совокупность явлений, возникающихпри кратковременном приложении к телувнешних сил, например, при взаимодействиис другим движущимся относительно неготелом, связанных со значительнымизменением его скорости за очень короткийпромежуток времени.

Абсолютнонеупругим называют такой удар, послекоторого скорости обоих соударяющихсятел оказываются одинаковыми.

Абсолютнонеупругий удар характеризуется тем,что потенциальной энергии деформациине возникает – кинетическая энергиятел полностью или частично превращаетсяво внутреннюю энергию. При абсолютнонеупругом ударе выполняется лишь законсохранения импульса и имеет место законсохранения суммарной энергии различныхвидов – механической и внутренней.

Абсолютноупругим называется такой удар, прикотором механическая энергия тел непереходит в другие немеханические видыэнергии. Потенциальная энергия упругойдеформации вновь переходит в кинетическуюэнергию, и тела разлетаются со скоростями,величина которых определяется двумяусловиями – сохранением полной энергиии сохранением полного импульса системытел.

Рассмотримцентральный абсолютно упругий удардвух шаров. Удар называется центральным,если шары до удара движутся вдоль прямой,проходящей через их центры.

Пустьшары массой и движутся до соударения со скоростямии,а после соударения со скоростями и .На основании закона сохранения импульсаможно записать:

. (3.1)

На основании законасохранения энергии имеем:

. (3.2)

Перепишем этиравенства в виде:

, (3.3)

. (3.4)

Поделив (3.4) на(3.3), получим:

(3.5)

или

. (3.6)

Такимобразом, при абсолютно упругом удареотносительная скорость шаров остаетсянеизменной величиной.

Умножаяуравнение (3.5) на ,а затем на и вычитая его из уравнения (3.3), получим:

, (3.7)

. (3.8)

Рассмотрим двачастных случая.

1.Сумма импульсов обоих шаров до ударовравна нулю, то есть

. (3.9)

Тогда

, ,

отсюда,применяя (3.9), находим: ,,то есть скорости обоих шаров при ударетолько изменяют свой знак.

2.Один шар до удара покоится: .

Тогда , .

Послеудара второй шар двинется в ту же сторону,куда двигался первый до удара. Скорость и поведение первого шара зависит отсоотношения масс.

а)Если ,то первый шар продолжает двигаться втом же направлении, как и до удара, но сменьшей скоростью. Скорость второгошара после удара больше, чем скоростьпервого до удара.

б)Если ,то направление движения первого шарапри ударе изменяется – шар отскакиваетобратно. Второй шар движется в ту сторону,в которую двигался первый до удара, нос меньшей скоростью.

в)Массы шаров одинаковы:.Тогда,,то есть шары при ударе обмениваютсяскоростями.

Вслучае абсолютно неупругого удара

, (3.10)

где– одинаковая для обоих шаров скоростьпосле удара.

Из(3.10) следует, что

. (3.11)

Вчастном случае, когда массы шаров равны, .

Вслучае не абсолютно упругого ударачасть кинетической энергии шаров присоударении переходит в энергию остаточнойдеформации. Тогда .Отсюда можно получить, что,то есть при неупругом ударе относительнаяскорость их меняет свое направление напротивоположное, уменьшаясь в то жевремя по абсолютной величине.

Неупругийудар сопровождается остаточнойдеформацией. Если пре­не­бречьвсякого рода сопротивлениями, законсохранения энергии для удара двуходинаковых шаров запишется так:

, (3.12)

где– энергия остаточнойдеформации одного шара, относящаяся кодному соударению.

Заданияданной работы предусматривают про­веркувыражений закона сохранения импульсапри упругом и абсолютно неупругомударах.

Экспериментальнаяустановка и методика измерений

Схемалабораторной установки показана нарис.3.1. К штативу 1 прикреплены два шара.Углы отклонения подвесов от вертикалиопределяются по шкалам 3. Электромагнит4 служит для удержания одного из шаровв отклоненном положении.

Отведемодин из шаров (например, правый) нанекоторый угол и отпустим без начальной скорости.Отклоненный шар будет двигаться вниз,разгоняясь, при этом его потенциальнаяэнергия будет переходить в кинетическую.Пусть столкновение со вторым шаромпроисходит в тот момент, когда нитьпервого шара становится вертикально.По закону сохранения механическойэнергии (см. рис. 3.2)

, (3.13)

где– масса шара,– ускорение свободного падения,– высота шара в отведенном положенииотносительно нижней точки траектории,– скорость первого шара в нижней точкеперед соударением со вторым.

Изрис. 3.2 видно, что

, (3.14)

где– расстояние от точки подвеса до центратяжести шара,– угол начального отклонения нити.

Подставляя(3.13) в (3.14) и преобразуя уравнение, найдемвыражение для скорости через уголначального отклонения:

, (3.15)

Массышаров подобраны так, чтобы после удараони разлетелись в разные стороны. Послеудара шары получают скорости и(рис. 3. 3), и, разлетаясь, отклоняют нитина максимальные углыи,соответственно.

Аналогичносоотношению (3.15) получаем:

,. (3.16)

Еслиудар происходит достаточно быстро так,что нити во время удара не успеваютотклониться на заметный угол, то внаправлении горизонтальной оси оxне возникает внешних сил и выполняетсязакон сохранения импульса в проекциина эту ось:

. (3.17)

Коэффициентвосстановления скорости определяетсякак отношение относительной скоростишаров после удара к относительнойскорости шаров до удара:

. (3.18)

Вданном случае формула (3.18) с учетом(3.15) и (3.16) преобразуется к виду

(3.19)

Дляабсолютно упругого удара =1. В случае столкновения реальных шаров,столкновение не является абсолютноупругим, и

Источник: https://studfile.net/preview/1568289/page:3/

4.7. Примеры применения законов сохранения

Закон сохранения энергии для абсолютно неупругого удара

Приведем вначале примеры задач- когда не требуется точного решения, но лишь более или менее адекватная оценка порядков величин.

Пример 1. Гвоздь забили пятью ударами молотка. Оценить, какую силу надо приложить, чтобы выдернуть гвоздь.

Решение. Пусть m — масса молотка, a — его скорость в момент удара. Для оценки можно предположить, что гвоздю передается вся кинетическая энергия молотка. При n ударах эта энергия равна

Энергия гвоздя расходуется на преодоление силы трения F при вхождении гвоздя в стену: при углублении гвоздя на расстояние l совершается работа

Из равенства A = К находим

Эта же сила препятствует вытаскиванию гвоздя. Для численной оценки примем разумные исходные данные: m = 1 кг, v = 5 м/с, l = 5 см. Получаем тогда:

Эта сила примерно эквивалентна весу массы в 130 кг.

При решении мы пренебрегли потерями энергии на нагревание молотка, гвоздя и стенки, но перед нами стояла задача получить всего лишь оценку, а не точное решение.

Пример 2. Оценить мощность выделения тепла при экстренном торможении грузовика.

Решение. Пусть m — масса грузовика, который двигался со скоростью . Кинетическая энергия грузовика до торможения равна

после — нулю. Разность этих кинетических энергий перешла в тепло:

Среднюю скорость грузовика в процессе торможения можно принять равной /2. Если тормозной путь равен l , то до остановки грузовика прошло время

Отсюда находим мощность выделения тепла:

Для численной оценки примем: m = 10 т, v = 72 км/час, l = 20 м. Тогда находим:

Дополнительная информация

http://www.plib.ru/library/book/17005.html – Стрелков С.П. Механика Изд. Наука 1971 г. – стр.134–135 (§37): маятник Галилея (закон сохранения энергии);

Приведем теперь примеры совместного использования законов сохранения импульса и энергии при изучении соударения двух тел. При столкновении тела претерпевают деформацию.

При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел приводит к повышению их температуры.

Существует два предельных типа удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Абсолютно упругим называется удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие виды энергии.

При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга, и разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются двумя условиями — сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы двух тел.

4.9. Упругое столкновение тележек. «Обмен скоростями» при равенстве масс упруго сталкивающихся тел.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии упругой деформации не возникает: кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю (тепловую) энергию.

После абсолютно неупругого удара столкнувшиеся тела соединяются воедино и либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся.

При абсолютно неупругом ударе тел работает лишь закон сохранения импульса, механическая энергия не сохраняется, переходит в тепловую (внутреннюю), поэтому имеет место закон сохранения суммарной энергии — механической и внутренней.

Пусть два сталкивающихся шара образуют замкнутую систему. Рассмотрим сначала абсолютно неупругий удар (рис. 4.16).

Рис. 4.16. Абсолютно неупругое столкновение двух шаров: 1 — состояние до удара; 2 — состояние после удара

Начальные скорости шаров 1 и 2, а их массы m1 и m2 конечная скорость шаров — . При соударении выполняется закон сохранения импульса:

откуда находим скорость образовавшейся составной частицы

Как и следовало ожидать, соединившиеся шары после соударения продолжают двигаться со скоростью центра масс системы до соударения.

Энергия, перешедшая при этом во внутреннюю энергию шаров, равна разности кинетических энергий до и после соударения:

где — так называемая, «приведенная масса» шаров, а — относительная скорость шаров до удара, а именно: скорость до удара второго шара ( минус ) относительно первого. Отсюда видно, что Q равно кинетической энергии относительного движения шаров до удара.

Только эта часть полной кинетической энергии шаров до удара может полностью перейти в тепловую (внутреннюю) энергию.

Поэтому абсолютно неупругий удар можно определить и так: при абсолютно неупругом ударе вся энергия относительного движения переходит в тепловую (внутреннюю) энергию.

4.10. Абсолютно неупругое столкновение шаров в системе центра масс и в лабораторной системе отсчета.

Пример 3. Артиллеристы стреляют так, чтобы ядро попало в неприятельский лагерь, находящийся на расстоянии l0 = 7.2 км от пушки.

В момент вылета ядра из дула на него вскакивает барон Мюнхаузен (абсолютно неупругий удар), масса которого в n = 5 раз больше массы ядра. Из-за этого ядро падает, не долетев до цели.

Какое расстояние барону придется пройти пешком, чтобы добраться до неприятельского лагеря? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Если ядро вылетело из дула со скоростью 0, то после вскакивания на него барона его скорость стала равной

где m — масса ядра, а М — масса Мюнхгаузена. Пользуясь формулами темы 2.7, артиллеристы рассчитывали угол возвышения орудия по формуле

Поскольку скорость изменилась, а угол остался прежним, дальность полета составит

Поэтому барону надо будет пройти расстояние

Иными словами, барону удалось пролететь на ядре только 200 м.

Дополнительная информация

http://www.plib.ru/library/book/14978.html – Сивухин Д.В. Общий курс физики, том1, Механика Изд. Наука 1979 г. – стр.157 (§28, задачи 14, 15): обсуждаются ядерные реакции управляемого термоядерного синтеза.

Теперь рассмотрим абсолютно упругий удар. Ограничимся случаем центрального удара двух однородных шаров. Удар называется центральным, если векторы скорости центров шаров до удара направлены вдоль прямой, проходящей через центры сталкивающихся шаров (рис. 4.17).

Рис. 4.17. Абсолютно упругое центральное соударение двух шаров: 1 – состояние до удара; 2 – состояние после удара

Шары рассматриваем как материальные точки, то есть пренебрегаем их возможным вращением. Как и в предыдущем случае, пренебрежем также трением о поверхность, по которой движутся шары. Напишем уравнения сохранения механической энергии и импульса.

В рассматриваемом случае центрального удара скорости шаров после удара будут направлены вдоль той же прямой, по которой двигались центры шаров перед ударом. Поэтому векторы скоростей можно заменить их проекциями на линию соударения:

где m1 и m2 — массы шаров, v10 и v20 — скорости шаров до удара и v1 и v2 — скорости шаров после удара (скорости понимаются в алгебраическом смысле: знак указывает направление движения вдоль линии соударения).

Преобразуем уравнения сохранения энергии и импульса к виду:

Выражения, стоящие в левой и правой частях уравнений, будем считать отличными от нуля (иначе v10 = v1 и v20 = v2 — скорости шаров не изменились, то есть столкновения не произошло). Разделим первое уравнение на второе, после чего получим:

Умножим полученное уравнение на m2 и вычтем из него преобразованное уравнение закона сохранения импульса. Находим:

Аналогично умножим полученное уравнение на m1 и сложим с ним преобразованное уравнение закона сохранения импульса. Получим:

В отличие от неупругого столкновения, здесь скорости шаров после соударения не могут быть равны.

В самом деле, если v1 = v2, то из полученных выражений для скоростей шаров после удара следует, что до соударения скорости тоже были равны v10 = v20. Но в этом случае соударение не может произойти.

При центральном ударе шары столкнутся, если они движутся навстречу друг другу или один шар догоняет другой.

Анализ полученных соотношений

1. Если второй шар первоначально покоился (v20 = 0), то после соударения скорости шаров определяются соотношениями

Здесь η = m2/m1 — отношение масс сталкивающихся шаров. Отметим, что при заданной скорости налетающего шара до столкновения, скорости шаров после столкновения определяются исключительно отношением масс шаров.

Знак скорости v2 совпадает со знаком v10: покоившийся шар обязательно начнет двигаться в направлении движения налетающего шара.

Знак скорости v1 зависит от соотношения масс шаров: если покоившийся шар более массивен, то налетавший отскочит в обратном направлении, если более массивен налетающий шар, он продолжит движение в том же направлении. При равенстве масс налетающий шар остановится.

Рассмотрим два предельных случая:

  • Масса покоящегося шара гораздо больше массы налетающего: m2 >> m1 или η>>1. Тогда(то есть тяжелый шар остается неподвижным) и(легкий шар отскакивает с той же скоростью в обратном направлении).
  • Масса налетающего шара намного превосходит массу покоящегося: m1>>m2 или ηm1), тоИначе говоря, массивный шар не “замечает” соударения с легким шаром и продолжает двигаться с прежней скоростью. Скорость же легкого шара меняется. Мы получили комбинацию полученных ранее результатов.Законы столкновения шаров иллюстрируются с помощью интерактивной компьютерной модели (рис. 4.18).Рис. 4.18. Исследование законов столкновения шаров с помощью интерактивной компьютерной моделиПусть имеется ряд одинаковых соприкасающихся упругих шаров. С крайним шаром ряда сталкивается такой же шар, движущийся со скоростью v0 (рис. 4.19). В результате удара он останавливается, а последний шар ряда начинает двигаться с той же скоростью v0.Рис 4.19. Упругое столкновение шара с несколькими покоящимися шарами: 1 – положение до соударения; 2 – после соударенияЭто явление объясняется тем, что при столкновении шаров 1 и 2 шар 1 останавливается, а шар 2 приобретает скорость v0. Шар 2 тут же сталкивается с шаром 3 и останавливается и т. д.Пусть на неподвижный ряд одинаковых шаров налетают два таких же шара, движущихся со скоростью v0 каждый (рис. 4.20).Рис 4.20. Упругое столкновение двух шаров с несколькими покоящимися шарами: 1 – положение до соударения; 2 – после соударения. Сначала при столкновении шара 2 с шаром 3, шар 2 останавливается, а шар 3 приобретает скорость v0, передавая её шару 4 и т. д. Сразу же после этого шар 1 сталкивается с шаром 2, останавливается, передавая свою скорость шару 2, и процесс повторяется. В результате все шары, кроме двух последних, движущихся со скоростями v0, остаются неподвижными.Центральные упругие столкновения в цепочке одинаковых шаров демонстрируются на рис. 4.21.Рис. 4.21. Центральные столкновения в цепочке одинаковых шаровЗдесь все шары подвешены на длинных нитях, и задача сводится к изучению их попарных столкновений. При этом крайние шары будут поочередно отскакивать с одинаковой скоростью и отклоняться на нитях на одинаковые углы, а все остальные шары, находящиеся между ними, будут находиться в состоянии покоя. 4.11. Нецентральное упругое столкновение шаров одинаковой массы. Эффект вращения шаров после удара.Знакомство с конкретными примерами позволяет сформулировать общие важные положения. Не все из них вытекают, правда, из вышесказанного, но это и не удивительно: само понятие энергии гораздо шире его проявления в механике, и мы только начинаем с ним знакомиться. Итак:
    • Законы сохранения носят фундаментальный характер и тесно связаны с симметрией пространства и времени. Закон сохранения энергии связан с однородностью времени, то есть равнозначностью всех моментов времени. Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства, то есть равнозначностью всех точек пространства.
    • Законы сохранения носят общий характер и не зависят от конкретной системы и ее движения. Из законов сохранения вытекает, что какие-то процессы заведомо оказываются невозможными. Так, в 1775 г. Французская Академия решила не принимать к рассмотрению проекты вечных двигателей как противоречащих закону сохранения энергии.
    • Законы сохранения позволяют рассмотреть общие свойства движения без решения уравнений и детальной информации о протекании процессов во времени. Поэтому законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда силы точно не известны. Так, в частности, обстоит дело в физике элементарных частиц. Даже в тех случаях, когда силы заданы в точности, законы сохранения могут оказать существенную помощь при решении задач о движении частиц.

    Дополнительная информация

    http://www.plib.ru/library/book/17005.html – Стрелков С.П. Механика Изд. Наука 1971 г. – стр.122–126 (§34): упругий нецентральный удар шаров;

    http://www.plib.ru/library/book/14978.html – Сивухин Д.В. Общий курс физики, том1, Механика Изд. Наука 1979 г. – стр. 151–154 (§28, п.п.4–6): абсолютно упругое соударение шаров рассматривается в системе центра масс;

    http://kvant.mirror1.mccme.ru/1993/05/povest_o_tom_kak_stolknulis_dv.htm – Журнал «Квант» – о столкновении двух упругих шаров (А. Гросберг).

    Источник: http://online.mephi.ru/courses/physics/osnovi_mehaniki/data/lecture/4/p7.html

    Упругие и неупругие соударения

    Закон сохранения энергии для абсолютно неупругого удара

    Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса при упругом ударе способствует нахождению решения механических задач с неизвестными действующими силами, то есть задания с ударным взаимодействием тел.

    Применение такого вида задач используется в технике и физике элементарных частиц.

    Определение 1

    Удар или столкновение – это кратковременное взаимодействие тел с последующим изменением их скорости.

    При столкновении действуют неизвестные кратковременные ударные силы. Закон Ньютона не разрешит ударное взаимодействие, а позволит только исключить сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновений без промежуточных значений.

    Механика применяет такое определения абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов.

    Абсолютно неупругий удар. Скорость

    Определение 2

    Абсолютно неупругий удар – это ударное взаимодействие с соединением (слипанием) движущихся тел.

    Сохранение механической энергии отсутствует, так как переходит во внутреннюю, то есть нагревание.

    Попадание пули в баллистический маятник – характерный пример действия энергии абсолютно неупругого удара, где
    М – подвешенный ящик с песком, показанный на рисунке 1.21.1, m – горизонтально летящая пуля с v→ скоростью движения, застревающая в ящике. Определение скорости пули возможно по отклонению маятника.

    Если скорость ящика с пулей обозначить как u→, тогда, используя формулу сохранения импульса, получаем:

    mv=(M+m)u; u=mM+mv.

    Когда пуля застревает в песке, то механическая энергия теряется:

    ∆E=mv22-(M+m)u22=MM+m·mv22.

    M (M + m) обозначает долю кинетической энергии выпущенной пули и прошедшей во внутреннюю энергию системы. Тогда

    ∆EE0=MM+m=11+mM.

    Использование формулы подходит для задач с наличием баллистического маятника и другого неупругого соударения разномасных тел.

    Когда m М), отношение принимает вид ∆EE0→0.

    Расчет движения маятника производится по закону сохранения механической энергии. Получаем

    (M+m)u22=(M+m)gh; u2=2gh.

    В данном случае h является максимальной высотой подъема маятника. Отсюда следует, что

    v=M+mm2gh.

    При известной высоте h возможно определение скорости пули v.

    Рисунок 1.21.1. Баллистический маятник.

    Абсолютно упругий удар

    Определение 3

    Абсолютный упругий удар – это столкновение с сохранением механической энергии системы тел.

    Большинство случаев столкновения атомов подчинено законам абсолютного упругого центрального удара. Закон сохранения импульса и механической энергии сохраняются при таком ударе. Для примера используется столкновение при помощи центрального удара бильярдных шаров. Один из них находится в состоянии покоя, как изображено подробно на рисунке 1.21.2.

    Определение 4

    Центральный удар – это соударение, когда скорости шаров направлены по линии центра.

    Рисунок 1.21.2. Абсолютно упругий центральный удар шаров.

    Встречаются случаи, когда массы m1 и m2 не равны. Тогда, используя закон сохранения механической энергии, получаем

    m1v122=m1v122+m2v222.

    За v1 принимается скорость при абсолютном упругом ударе первого шара перед столкновением, а υ2=0 скорость второго шара, v1 и v2 – скорости после столкновения.

    Определение 5

    Запись закона сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, принимает вид:

    m1v1=m1v1+m2v2.

    Полученная система из двух уравнений позволяет найти неизвестные скорости v1 и v2 шаров после столкновения.

    v1=m1-m2v1m1+m2; v2=2m1v1m1+m2.

    Если массы равны, то есть, тогда происходит остановка первого шара (v1=0), а второй продолжает движение v2=v1. происходит обмен скоростями и импульсами.

    При наличии нулевой скорости второго шара (v2≠0), задача могла бы свестись к предыдущей с переходим в новую систему отсчета с равномерным и прямолинейным движением и скоростью v2 относительно «неподвижной» системы. В такой системе второй шар покоится до удара, а первый имеет скорость v1'=v1–v2. После определения скорости шаров v1 и v2 производится переход к «неподвижной» системе.

    С помощью закона сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновений только с известными скоростями до соударения.

    Рисунок 1.21.3. Модель упругие и неупругие соударения.

    При столкновении атомов или молекул применяется понятие центрального или лобового удара, который редко применим на практике. Нецентральный упругий удар не направлен по одной прямой.

    Частный случай нецентрального упругого удара – соударение бильярдных шаров с одинаковой массой при обездвиженном одним из них, а другим направленным не по линии центра. Данная ситуация приведена на рисунке 1.21.4.

    Рисунок 1.21.4. Нецентральное упругое соударение шаров с одинаковой массой, где d является прицельным расстоянием.

    Нецентральное ударение характеризуется тем, что разлетатание шаров происходит под углом относительно друг друга. Чтобы определить скорости v1 и v2 после соударения, необходимо знать нахождение положения линии центров в момент удара или предельное расстояние d, изображенное на рисунке 1.21.4.

    Предельное расстояние

    Определение 6

    Предельным расстоянием называют расстояние между двумя линиями, которые проведены через центры шаров параллельно относительно вектора скорости v1→ летящего шара.

    При одинаковых массах шаров векторы v1→ и v2→ имеют перпендикулярное направление друг к другу. Это возможно показать с помощью применения законов сохранения импульса и энергии. Если m1=m2=mтогда определение примет вид

    v1→=u1→+u2→; v12=u12+u22.

    Первое равенство значит, что векторы v1→, u1→, u2→ образуют треугольник, называемый диаграммой импульсов, второе – для его разрешения применяют теорему Пифагора. Угол, располагаемый между u1→ и u2→, равняется 90 градусов.

    Рисунок 1.21.5. Модель соударения упругих шаров

    Источник: https://zaochnik.com/spravochnik/fizika/zakony-sohranenija-v-mehanike/uprugie-i-neuprugie-soudarenija/

Юрист Макаров
Добавить комментарий